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四元數(shù)(quaternion)最早是為了擴(kuò)展復(fù)數(shù)應(yīng)用而產(chǎn)生與發(fā)展起來的,B.P.哈密爾頓早在1843年就在數(shù)學(xué)中引入了四元數(shù)。但是由于當(dāng)時數(shù)學(xué)工具所限,其優(yōu)越性尚顯示出來,直到20世紀(jì)60年代末這種方法才開始獲得實(shí)際應(yīng)用。隨著空間技術(shù)、計算技術(shù)的發(fā)展,四元數(shù)的優(yōu)越性日漸引起重視·人們發(fā)現(xiàn)四元數(shù)也可以作為表現(xiàn)旋轉(zhuǎn)的可選擇方法之一應(yīng)用于手術(shù)導(dǎo)航系統(tǒng)中。 手術(shù)導(dǎo)航系統(tǒng)[1~3]是在手術(shù)過程中,利用計算機(jī)技術(shù)將術(shù)前或術(shù)中病人影像數(shù)據(jù)、實(shí)際手術(shù)過程中病人的病變體位以及手術(shù)工具所在的坐標(biāo)系統(tǒng)統(tǒng)一起來,根據(jù)實(shí)際手術(shù)的需要對手術(shù)工具周圍的組織做出相應(yīng)的顯示,對手術(shù)進(jìn)行實(shí)時的導(dǎo)航。簡單地說,手術(shù)導(dǎo)航系統(tǒng)將病人術(shù)前或術(shù)中影像數(shù)據(jù)和手術(shù)床上病人解剖結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確對應(yīng),手術(shù)中跟蹤手術(shù)器械并將手術(shù)器械的位置在病人影像上以虛擬探針的形式實(shí)時更新顯示,使醫(yī)生對手術(shù)器械相對病人解剖結(jié)構(gòu)的位置一目了然,影像導(dǎo)航可使外科手術(shù)更快速、更精確、更安全。 由此可見,定位和空間配準(zhǔn)是手術(shù)導(dǎo)航系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)·而在不同坐標(biāo)系下定位又必然涉及坐標(biāo)系之間的映射變換·所以本文將詳細(xì)介紹四元數(shù)在手術(shù)導(dǎo)航定位系統(tǒng)坐標(biāo)映射變換中的應(yīng)用以及四元數(shù)在手術(shù)導(dǎo)航系統(tǒng)空間配準(zhǔn)中的應(yīng)用。 1坐標(biāo)變換中的應(yīng)用 手術(shù)導(dǎo)航系統(tǒng)面臨的一個關(guān)鍵技術(shù)是有關(guān)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的問題,具體可歸結(jié)為以下描述(如圖1所示)。 
已知:①引導(dǎo)工具端點(diǎn)P在全局坐標(biāo)系下的位置(x,y,z);②局部參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)系原點(diǎn)o的位姿,包括坐標(biāo)原點(diǎn)的位置(ox, oy, oz)及其旋轉(zhuǎn)量的四元數(shù)表示值q0, q1, q2, q3·求工具端點(diǎn)P在局部參考坐標(biāo)系下的位置(u,v,w)。 由機(jī)器人學(xué)中有關(guān)坐標(biāo)的齊次變換理論[6]可知,要解決此問題關(guān)鍵是坐標(biāo)映射變換矩陣的確定·坐標(biāo)映射變換矩陣推導(dǎo)如下: 第一步坐標(biāo)變換中的旋轉(zhuǎn)量的推導(dǎo)。 定義e為旋轉(zhuǎn)特征向量,以e為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)角度α,則方向余弦矩陣(即坐標(biāo)變換中的旋轉(zhuǎn)量)可表示為 
(3) 設(shè)方向余弦矩陣Aα的元素為aij,旋轉(zhuǎn)特征向量e的元素可表示為 
根據(jù)旋轉(zhuǎn)特征向量和旋轉(zhuǎn)角,定義四元數(shù)矢量部分和標(biāo)量部分如下 
(10) 以上確定了齊次坐標(biāo)變換中的旋轉(zhuǎn)量。 第二步確定齊次坐標(biāo)變換矩陣。由機(jī)器人學(xué)中齊次變換理論可知 
T即為所求的坐標(biāo)映射變換矩陣。式中ox,oy,oz為坐標(biāo)原點(diǎn)的位置,亦即局部參考坐標(biāo)系的移動量。 綜上所述,由機(jī)器人學(xué)中有關(guān)坐標(biāo)的齊次變換理論知,可按式(12)求解  (12)
2空間配準(zhǔn)中的應(yīng)用 手術(shù)導(dǎo)航系統(tǒng)中,空間配準(zhǔn)(registration)主要用于手術(shù)前的計劃和手術(shù)中的處理[7,8]·通過對由位置傳感器確定的坐標(biāo)空間和術(shù)前多模態(tài)醫(yī)學(xué)圖像確定的坐標(biāo)空間配準(zhǔn),導(dǎo)航系統(tǒng)可以將術(shù)前重建所得的虛擬數(shù)據(jù)與術(shù)中空間位置的數(shù)據(jù)實(shí)時地聯(lián)系起來,這樣就消除了醫(yī)生僅憑主觀判斷將多模態(tài)醫(yī)學(xué)圖像與實(shí)際手術(shù)過程相匹配時可能引起的誤差,減小了手術(shù)的復(fù)雜性和危險性,縮短了手術(shù)時間[9]·空間配準(zhǔn)是一個坐標(biāo)空間和另一個坐標(biāo)空間一對一的映射或變換,即兩個不同空間中相對應(yīng)于同一醫(yī)學(xué)解剖特征的兩點(diǎn)之間的映射·空間配準(zhǔn)是手術(shù)導(dǎo)航系統(tǒng)中的一個十分關(guān)鍵的技術(shù)。 下面將詳細(xì)介紹四元數(shù)法在手術(shù)導(dǎo)航系統(tǒng)空間配準(zhǔn)中的應(yīng)用·為簡化起見,僅研究對應(yīng)空間點(diǎn)集的配準(zhǔn)方法。 2.1配準(zhǔn)方法 假設(shè)一一對應(yīng)的兩個空間點(diǎn)集U和X的坐標(biāo)已給定,每個點(diǎn)集有n個點(diǎn), U={ui,i=0,1,2,…, n}和X={xi,i=0,1,2,…, n},每對點(diǎn)ui,xi有m個坐標(biāo)ui=(ui1,ui2,…,uim),xi=(xi1,xi2,…,xim)·為了使它們配準(zhǔn)起來,就是要找到最優(yōu)的旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移向量T,滿足目標(biāo)表達(dá)式 
其中,R是3×3的旋轉(zhuǎn)矩陣;T是3×1的平移矩陣。 關(guān)于這個最優(yōu)問題,可以用基于四元數(shù)(quaternions)的非迭代算法，在三維情況下,可以用四元數(shù)(三個旋轉(zhuǎn)軸,一個旋轉(zhuǎn)角度)表示R3中的旋轉(zhuǎn)，四元數(shù)有如下形式 
(17) 使用四元數(shù)表示R3中的旋轉(zhuǎn),需要計算四個旋轉(zhuǎn)參數(shù)和三個平移參數(shù)來評估兩個點(diǎn)集之間的移動·將這些參數(shù)放入一個向量q=[qT,qR]中,qT表示平移向量,qR表示旋轉(zhuǎn)向量·配準(zhǔn)的目標(biāo)表達(dá)式就可以轉(zhuǎn)換為式(18),也就使得目標(biāo)函數(shù)f(q)的值最小 
其中,R(qR)表示四元數(shù)qR(旋轉(zhuǎn)向量)對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣 
讓tr(C)表示C的跡,就是矩陣對角線的和·定義對稱矩陣E為  (20)
最后,用Jacobi方法計算矩陣E的特征值和特征向量。 使目標(biāo)函數(shù) 
達(dá)到最小的四元數(shù)就是矩陣E的最大特征值所對應(yīng)的特征向量·qR表示這個向量,最優(yōu)平移參數(shù)為 
兩個點(diǎn)集的配準(zhǔn)向量為[qT,qR]。 2.2實(shí)驗(yàn)結(jié)果 配準(zhǔn)結(jié)果: 四元數(shù)qR:[0·363 0·125 -0·30 0·22]; 平移向量qT:[-0·006 55 -0·069 4 0·078 3]誤差Fqx:0·32;Fqy:0·24;Fqz:0·078· 
3結(jié)語 本文詳細(xì)介紹了四元數(shù)在手術(shù)導(dǎo)航定位系統(tǒng)坐標(biāo)映射變換中的應(yīng)用以及四元數(shù)在手術(shù)導(dǎo)航系統(tǒng)空間配準(zhǔn)中的應(yīng)用，詳細(xì)推導(dǎo)了將一四元數(shù)轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)矩陣的過程,進(jìn)而應(yīng)用坐標(biāo)的齊次變換理論解決了手術(shù)導(dǎo)航系統(tǒng)中坐標(biāo)變換的問題，通過基于四元數(shù)(quaternions)的非迭代算法的引入,解決了手術(shù)導(dǎo)航系統(tǒng)中的又一關(guān)鍵技術(shù)空間配準(zhǔn)問題，在實(shí)際開發(fā)的手術(shù)導(dǎo)航模體演示系統(tǒng)NEU-IGSS中,上述兩項關(guān)鍵技術(shù)均得到了成功的應(yīng)用。 摘自：中國計量測控網(wǎng)
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